对刘协的到来，蔡琰一点心理准备也没有，自然地上前迎接。等看到刘协的眼神，她才意识到自己衣着不太合适，本能的掩了衣襟，转身就走。
刘协看着她裹紧的腰身，也没说话，就在院子里等着。
过了一会儿，蔡琰换了衣服，重新出来见礼。
衣服换了，脸上的尴尬却没褪，连脖子都有些微红。
“臣失礼，请陛下恕罪。”
“是朕来得匆忙。”刘协摆摆手，说明来意。“研究得如何？有没有什么心得可以分享？”
蔡琰心中欢喜，嘴上却说道：“袁衡言过其实了，臣只是闲来无事，聊作消遣罢了。既然陛下来了，臣正好有些问题，向陛下请教。”
说着，蔡琰请刘协来到书房，找出两件透镜，一面铜镜，和一些写满了字、画满了图的纸张，全部铺在刘协面前。
刘协大致看了一眼，知道自己猜得不错。
蔡琰的研究都是几何方面的，大致可以分为两类：一类是反射，一类是折射。
反射已经没什么好说的，反射角与入射角相等，很容易确定。
让刘协意外的是，蔡琰已经涉及到了与折射同时出现的反射，并提出了全反射的现象。虽然研究还不够深入，没有提到临界值，却已经超出了刘协当初提及的范围。
而刘协最关心的折射角问题，却已经到了解决的边缘。
蔡琰不懂三角函数，但她却用了一个巧妙的办法，实际上解决了三角函数的问题。
以折射点画标准圆，用高度来代替角度。